Soal:
1. Distribusi Probabilitas Binomial
Keluarga
Markus berencana memiliki 3 anak. Bila X menyatakan banyaknya kelahiran anak
laki-laki,
a.
Hitunglah
probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki
b.
Probabilitas
memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki
Sumber: sudaryono, M.Pd. 2012. Statistika Probabilitas.Yogyakarta
Penerbit ANDI.
2. Distribusi Probabilitas Hipergeometrik
Enam
kartu diambil secara acak dari setengah kartu Bridge (warna merah). Hitunglah probabilitas diperolehnya 4 kartu
wajik!
Sumber: sudaryono, M.Pd. 2012. Statistika Probabilitas.Yogyakarta
Penerbit ANDI.
3.
Distribusi Probabilitas
Poisson
Pada sebuah ruang kerja terdapat 2 computer yang bekerja, setiap
hari computer A mengalami gangguan rata-rata sebanyak 5 kali perhari. Dan mesin
B mengalami gangguan rata-rata sebanyak 2 kali perhari. Hitung probabilitas
distribusi Poisson jika terdapat gangguan pada mesin rata-rata sebanyak 4 kali
perhari.
Sumber:
membuat sendiri.
KAJIAN PUSTAKA
1.
Pengertian
Probabilitas
Probabilitas merupakan besarnya
kesempatan (kemungkinan) suatu peristiwa akan terjadi. Berdasarkan pengertian
probabilitas tersebut terdapat beberapa hal yang penting, yaitu besarnya
kesempatan dan peristiwa akan terjadi. Besarnya kesempatan dari suatu peristiwa
akan terjadi adalah antara 0 sampai dengan 1. Jika suatu peristiwa memiliki
kesempatan akan terjadi 0, peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi. Namun
jika suatu peristiwa memiliki suatu kesempatan akan terjadi 1, peristiwa
tersebut pasti akan terjadi. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa semakin
kecil probabilitas suatu peristiwa (probabilitasnya semakin mendekati 0),
semakin kecil kesempatan (kemungkinan) peristiwa tersebut akan terjadi.
Sebaliknya semakin besar probabilitas suatu peristiwa (probabilitasnya semakin
mendekati 1), semakin besar kesempatan (kemungkinan) peristiwa tersebut akan
terjadi.
2.
Distribusi
Probabilitas Binomial
Distribusi binomial merupakan suatu distribusi probabilitas peubah
acak yang bersifat diskret. Disebut pula distribusi BERNOULLI ditemukan oleh JAMES
BERNOULLI adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan var random diskrit
(var yang hanya memiliki nilai tertentu, nilainya merupakan bilangan bulat dan
asli tidak berbentuk pecahan) yang terdiri dari dua kejadian yang
berkomplementer seperti sukses-gagal, baik-cacat, siang-malam, dsb.
Pada umumnya, suatu eksperimen atau
percobaan dapat dikatakan eksperimen atau percobaan binomial apabila mempunyai
beberapa syarat berikut:
1. Setiap percobaan selalu dibedakan menjadi dua macam kejadian yang
bersifat saling meniadakan (mutually
exclusive).
2. Dalam setiap percobaan hasilnya dapat dibedakan: berhasil atau gagal.
3. Probabilitas kejadian berhasil
dinyatakan dengan huruf p, sedangkan
probabilitas gagal dinyatakan dengan
huruf q, dimana p+q=1 atau q=1-p.
4. Masing-masing percobaan merupakan peristiwa yang bersifat bebas,
yaitu peristiwa yang satu tidak dapat memengaruhi peristiwa yang lain.
Rumus umum distribusi Binomial:
Keterangan:
x=
0,1,2,3,…,n
n=
banyaknya percobaan
x=
banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
p=
peluang berhasil dalam setiap percobaan
q=
peluang gagal. Dimana q=1-p dalam setiap percobaan.
3.
Distribusi
Probabilitas Hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik merupakan
distribusi diskret. Probabilitas suatu peristiwa pada percobaan akan
menghasilkan dua macam peristiwa dependen menghasilkan probabilitas peristiwa
yang berbeda pada setiap percobaan. Kondisi ini biasanya muncul pada percobaan
yang dilakukan tanpa pengembalian dengan populasi yang terbatas. Dengan kata
lain, distribusi hipergeometrik merupakan bentuk probabilitas tanpa pengambilan
(without replacement), yaitu setiap
pencuplikan data yang telah diamati tidak dimasukkan kembali dalam populasi
semula.
Definisi secara umum dari distribusi
probabilitas hipergeometrik bagi peubah acak X adalah bila dari populasi
berukuran N yang dapat digolongakan, yaitu kelompok keberhasilan dan kelompok
kegagalan masing-masing dengan k dan N-k unsur, dipilih sebanyak n, distribusi
probabilitas acak X yang menyatakan banyaknya kejadian berhasil yang terpilih
adalah
Rumus
umum Distribusi Hipergeometri:
Keterangan:
x=
peluang sukses yang diinginkan dalam sampel
N=
populasi sampel obyek
n=
jumlah sampel acak yang diambil
M=
kelas berhasil dalam populasi
Apabila
populasi besar dan sampel relatif kecil, pengambilan secara acak dilakukan
tanpa pengembalian menimbulkan efek terhadap probabilitas sukses pada setiap
percobaan kecil, untuk mendekati nilai probabilitas hipergeometrik dapat
digunakan konsep distribusi binomial, denga syarat n ≤ 0,05N.
4.
Distribusi
Probabilitas Poisson
Distribusi poisson adalah
percobaan-percobaan yang menghasilkan nilai numerik suatu variabel acak X,
jumlah keluaran yang terjadi selama suatu selang waktu yang diketahui atau di
dalam suatu daerah (ruang) yang ditentukan. Dengan kata lain, distribusi
poisson merupakan distribusi peubah acak di mana hasil percobaan terjadi selama
waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu. Oleh karena itu, penggunaan
distribusi poisson sangat membantu untuk menghitung probabilitas pada percobaan
dengan nilai n relatif besar.
Distribusi Poisson dapat digunakan
untuk menentukan probabilitas dari sejumlah sukses yang ditentukan, jika
kejadian-kejadian terjadi dalam kurun waktu atau ruang kontinyu tertentu.
Proses poisson seperti proses Bernoulli, hanya berbeda pada sifat
kontinyuitasnya saja. Hanya satu nilai yang diperlukan untuk menentukan
probabilitas jumlah sukses dalam proses poisson, yaitu jumlah rata-rata sukses
yang dilambangkan dengan λx atau e-λ .
Menurut Benson (2008), percobaan
Poisson memiliki cirri-ciri sebagai berikut:
a.
Banyaknya
hasil percobaan yang terjadi pada suatu selang tertentu atau daerah tertentu
tidak bergantung pada banyaknya pada hasil percobaan pada selang waktu atau
daerah lain.
b.
Probabilitas
terjadinya satu hasil percobaan selama selang waktu tertentu yang singkat
sekali atau daerah lain yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau
daerah lain, juga tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi
diluar selang waktu atau daerah lain.
c.
Probabilitas
bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang
singkat atau daerah kecil dapat diabaikan.
Rumus umum Distribusi Poisson
Keterangan:
e=
bilangan natural (2,71828. . .)
X=
banyaknya unsur berhasil dalam sampel
λ= rata-rata keberhasilan, dimana λ=n.p. n
adalah jumlah sampel dan p adalah kemungkinan peluang.
Apabila
distribusi binomial n besar dan p atau (1-p) kecil, yaitu n≥30 dan np<5 atau="" dengan="" digunakan="" distribusi="" kependekan="" n.p.="" n="" p="" poissondapat="" span="">
LANGKAH-LANGKAH MENGERJAKAN
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT MENGGUNAKAN SOFTWARE MINITAB
A.
Distribusi
Probabilitas Binomial
1.
Pertama
buka software program minitab. Setelah muncul jendela kerja minitab,
pilih calc pada submenu, kemudian pilih Probability Distribution, lalu
pilih Binomial.
Maka
akan muncul gambar seperti dibawah ini:
NB:
jika ingin mencari nilai P [X ≤ x] maka yang dipilih adalah point cumulative probability
2.
Pilih
pada point probability, pada kolom number of trial masukkan jumlah n kali percobaan. Pada kolom event probability masukkan
nilai peluang keberhasilan yang di inginkan. Dan pada kolom input constant
masukkan nilai x banyaknya keberhasilan pada percobaan.
3.
Maka
akan muncul jawaban di lembar kerja session pada program minitab. Seperti
gambar di bawah ini:
B.
Distribusi
Probabilitas Hipergeometrik
1.
Pilih
menu cacl pada sub menu program minitab, kemudian pilih probability
distributions, lalu pilih hypergeometric.
Maka
akan muncul jendela kerja seperti dibawah ini:
2.
Klik
pada point probability, pada kolom population size (N) masukkan
angka jumlah pada sampel populasi, pada kolom event count in population (M) masukkan
angka peluang keberhasilan dalam populasi, pada kolom sample size (n)
masukkan angka jumlah sampel acak yang diambil, kemudian pada kolom input
constant masukkan angka peluang berhasil yang diinginkan.
Maka
hasilnya akan seperti dibawah ini:
C.
Distribusi
Probabilitas Poisson
1.
Pilih
menu cacl pada sub menu program minitab, kemudian pilih probability
distributions, lalu pilih poisson.
Maka
akan muncul jendela kerja seperti gambar dibawah ini:
2.
Klik
pada poin probability, pada kolom mean masukkan angka rata-rata
keberhasilan, dan pada kolom input constant masukkan angka peluang
keberhasilan yang di inginkan.
Maka
hasilnya akan muncul pada lembar kerja dibawah ini:
PEMBAHASAN
Hasil Output menggunakan aplikasi minitab Interpretasi perhitungan
Distribusi Probabilitas Diskrit.
1.
Distribusi
Probabilitas Binomial
Soal:
Keluarga
Markus berencana memiliki 3 anak. Bila X menyatakan banyaknya kelahiran anak
laki-laki,
c.
Hitunglah
probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki
d.
Probabilitas
memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki
Jawab:
Probabilitas kelahiran anak laki-laki sama dengan anak perempuan,
p=q=0,5 dan n=3
a.
Probabilitas
lahir 2 anak laki-laki
·
Output
·
Interpretasi
Diketahui:
n=3
x=2
p=q=0,5
0,375
Dengan
diketahui n=3 dan peluang yang diinginkan p=q=0,5 dan lahir 2 anak laki-laki x=2
maka probabilitas yang dihasilkan adalah sebesar P= 0,375.
b.
Tidak
lebih dari 2 anak laki-laki.
·
Output
·
Interpretasi
P
(X ≤ 2)
0,125
Jadi, 
)
)
Pertama kita harus mengetahui hasil
probabilitas dari (P(X): (x=0); (x=1); (x=2)) dahulu. Pada hasil perhitungan
menggunakan minitab diatas dihasilkan (P(x)=0) menghasilkan nilai
probabilitas 0,125, pada (P(x)=1) menghasilkan nilai probabilitas 0,375, dan
pada (P(x)=2) menghasilka nilai probabilitas sebesar 0,375. Kemudian dari
ketiga hasil nilai probabilitas mulai dari (P(X): (x=0); (x=1); (x=2))
dikumulatifkan sehingga menghasilkan nilai probabilitas 0,875.
2.
Distribusi
Binomial Hipergeometrik
Soal:
Enam
kartu diambil secara acak dari setengah kartu Bridge (warna merah). Hitunglah probabilitas diperolehnya 4 kartu
wajik!
Jawab:
·
Output
·
Interpretasi
Diketahui:
N=26
M=13
n=6
x=4
Untuk mencari
nilai probabilitas hiperhgeometrik dengan diketahui untuk n=6 kartu yang
diambil dari populasi N=26 kartu. Banyaknya kartu wajik M=13 dan x=4. Maka
probbilitas untuk memperoleh 4 kartu wajik dari 6 kartu yang diambil maka nilai
probabilitas yang diinginkan dari peluang sukses yang diinginkan dengan x=4
hasilnya P(X=4) adalah 0,242236.
3.
Distribusi
Probablitas Poisson
Soal:
Pada
sebuah ruang kerja terdapat 2 computer yang bekerja, setiap hari computer A
mengalami gangguan rata-rata sebanyak 5 kali perhari. Dan mesin B mengalami
gangguan rata-rata sebanyak 2 kali perhari. Hitung probabilitas distribusi
Poisson jika terdapat gangguan pada mesin rata-rata sebanyak 4 kali perhari.
Jawab:
·
Output
·
Interpretasi
Diketahui:
λ1=5
λ2=2
λ=λ1 + λ2= 5+2
= 7
e= 2,71828
x=4
Jadi untuk
mencari nilai probabilitas Poisson harus diketahui rata-ratanya terlebih dahulu
(λ), kemudian juga harus diketahui sampel peluang yang ingin dicari. Maka akan
didapatkan hasilnya seperti pada perhitungan interpretasi di atas. Nilai yang
diperoleh dari hasil perhitungan probabilitas poisson adalah 0,0912262.
4.
Kesimpulan
Setelah
perhitungan mencarai distribusi probabilitas binomial, hipergeometrik, dan poisson.
Perhitungan probabilitas menggunakan aplikasi minitab dan perhitungan
interpretasi manual menghasilkan hasil yang sama. Dan semua nilai probabilitas
tidak kurang dari 0 da lebih dari 1. Jadi dari semua soal diatas jika dilihat
dari hasilnya pasti ada kemuangkinan kejadian yang akan terjadi. Dan hasil dari
probabilitas binomial, hipergeometrik dan poisson dapat dilihat diatas.
DAFTAR PUSTAKA
http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/statistika_untuk_ekonomi_dan_bisnis/bab7_distribusi_binomial_poisson_dan_hipergeometrik.pdf
diakses pada 22 September 2014.
Mendrofa,Emanueli.2012. (http://ymayowan.lecture.ub.ac.id/files/2012/01/binomial.pdf.)
diakses pada 22 September 2014.
Sudaryono, M.Pd. 2012. Statistika Probabilitas.
Yogyakarta: Penerbit
Andi
Wonnacot, Ronald, J. 1991. Pengantar Statistika.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
0 komentar:
Posting Komentar